Правильные многогранники

Правильные многогранники.

Опр.1  Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром

(для информации: Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного -угольника при  не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Перечислим правильные многогранники:

• Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).
• Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).
• Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).
• Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).
• Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).

Центры граней каждого правильного многогранника являются  вершинами другого правильного  многогранника.

Отметив центры граней куба получим правильный октаэдр.

и наоборот: 

Такие пары многогранников  (куб и октаэдрит) называют  двойственными друг другу  правильными многогранниками.

Задание 1 

Какие пары двойственных фигур  вы еще можете назвать? (совет: прочтите параграф 9.5 учебника)

Задание 2 

Задание 3

Симметрия правильный многогранников 

Расскажем о симметрии правильных многогранников. Начнем с правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре шесть плоскостей симметрии: каждая такая плоскость определяется ребром тетраэдра и серединой скрещивающегося с ним ребра (рис.2.87,а). Две плоскости симметрии тетраэдра, содержащие два его скрещивающихся ребра, пересекаются по прямой, проходящей через середины этих скрещивающихся ребер (рис.2.87,б). Такая прямая является осью симметрии тетраэдра. У тетраэдра три оси симметрии. Кроме перечисленных видов симметрии, тетраэдр обладает поворотной симметрией на угол 1200 - вокруг прямой, содержащей высоту тетраэдра (рис.2.87,в). Таких осей поворота четыре - по числу высот тетраэдра. 

Центра симметрии правильный тетраэдр не имеет. Это легко объясняется, например, тем, что правильный тетраэдр не имеет параллельных граней. Перейдем теперь к кубу. Куб (как и произвольный параллелепипед) имеет центр симметрии - точку пересечения диагоналей. Оси симметрии куба изображены на рисунке 2.88. 

Те его оси симметрии куба, которые проходят через центры его противоположных граней, являются и осями его поворотной симметрии на угол 90

 Задание 4

Могут ли изображенные на рисунке 94 многогранники быть правильными многогранниками?

Задание 5 Учебник стр. 99 № 9.26

Задание 6

Делаем:  Сделайте развертку правильного додекаэдра: вырежьте из картона два одинаковых многоугольника, изображенных на рисунке 1а, положите их друг на друга так, как показано на рисунке 2 б и склейте,  Результат работы принести на урок!

(для информации. Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника^[1]. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены)

Задание 6

Задание 7

Д/З :1. Лекция + п 9.5 +вопросы после параграфа. 

2.  №9.24,9.26

3. Выполнить  задания,  указанные выше

4. принести развертку додекаэдра + додекаэдр (по заданию 6)

(данное д/з на 2  пропущенных урока)